Keemiainstituut

YKI0080 Teoreetiline ja arvutuskeemia
Sügissemester 2009/2010

Harjutusülesannete näidislahendused

1. Levine, 1.1/1.4. λ=h/mv; v=c; edasine on ühikute teisendamine.
   Vastus: 3.32 Å.
2. Levine, 1.6/1.9. Ψ rahuldab ajast sõltumatut Schrödingeri võrrandit. Lainefunktsioonist võtta selles võrrandis esinevad tuletised, asendada need Sch. võrrandisse. x³-ga liikmed saab välja koondada. Lõpuks vaja asendada arvud ja arvutada.
   Vastus: 3ch²/m=6.67*10^-20 J. Vastuses h on väike Plancki konstant (h-bar).
3. Levine, 2.3/2.10. Avaldada osakese potentsiaaliaugus energia avaldisest n. Asendada arvväärtused ja teisendada ühikud.
   Vastus: 3.0*10²⁶.
4. Levine, 2.8/2.16. Tuletuskäigu leiab, näiteks, ScienceWorld'ist. Lõpptulemus (energiad, lainefunktsiooni kuju) ei sõltu koordinaatide süsteemi valikust. Lainefunktsiooni täpne avaldis aga sõltub.
5. Levine, 3.8/3.15. (a) lineaarne; (b) mittelineaarne; (c) lineaarne; (d) mittelineaarne; (e) lineaarne.
6. Levine, 3.22/3.29 (muudetud) (c) on eelmise ruut.
7. Levine, 4.24/4.23 (a) Kasutada harmoonilise ostsillaatori k avaldist. Kui kasutada täpseid aatommasse 1.008 ja 34.97 amu, saame μ=1.627*10^-24g ja k=481 N/m.
   (b) 1/2 hν=2.87*10^-10 J.
   (c) Vibratsioonilise käitumise määrab elektroonne lainefunktsioon, mis ei sõltu tuumade massidest. Järelikult k on sama mõlema molekuli jaoks. Kui kasutada deuteeriumi täpset aatommassi 2.014 amu, saame μ=3.162*10^-24g ja ν=6.20*10¹³ s^-1.
8. Levine, 5.24/5.28 Kasutades seost L_x²+L_y²+L_z²=L² saame avaldada L_x²+L_y²=L²-L_z² . Mõjume sellega omafunktsioonile Y_l^m ja asendame vastavad omaväärtused:
   (L_x²+L_y²)Y_l^m = (L²-L_zL_z)Y_l^m = l(l+1)h²Y_l^m-m²h²Y_l^m = [l(l+1)h²-m²h²]Y_l^m .
   Oleme näidanud, et sfääriline harmoonik on selle operaatori konkreetse omaväärtusega omafunktsioon.
9. Levine, 6.14/6.20 Käsitleme positrooniumi kui vesinikusarnast aatomit taandatud massiga μ=m_e/2, mis on umbes pool vesiniku aatomi taandatud massist. Vastavat energia avaldist meil loengukonspektis ei ole. See esineb täielikus tuletuskäigus, kus võetakse arvesse ka tuuma lõplik mass (vt ptk 11 slaid 5). Vastav energiaavaldis on analoogne avaldisega 11.12, kus m_e asemel on taandatud mass μ. Kuna aatomi energia on proportsionaalne μ-ga, siis positrooniumi põhioleku energia on umbes pool vesinikuaatomi vastavast suurusest, ehk -6.8 eV.
10. Levine, 6.26/6.41 Õpiku lisas pakutud lahenduskäigus on soovitatud kasutada numbrilist meetodit (arvutit). Vastus tuleb 2.66 a₀ ehk 1.66 A.
11. Levine, 6.42/6.52 (a) harmooniline ostsillaator; (b) osake potentsiaaliaugus; (c) vesiniku aatom.
12. Levine 1991, ptk. 7, lk 169 Võimalikud väärtused on h ja -h (mõlemad h-bar), kummagi tõenäosus on 0,5.
13. Levine, 8.35/8.46 (a) =3, c₁=2/5^1/2, c₂=1/5^1/2; =-2, c₁=1/5^1/2, c₂=-2/5^1/2; (b) Jah, jah; (c) Jah; (d) Pöördmaatriks võrdub transponeeritud maatriksiga; (e) Vastavad korrutised tuleb läbi teha.
14. Levine, 10.1/10.2 54,7 kraadi. Lahenduseks tuleks teha vastav joonis (vt. ka loengukonspekt impulssmomendi teema juures) ja selle põhjal arkusfunktsiooni abil leida nurk.
15. Levine, 10.7/10.10 Põhiolek: 1s³ ehk 1s(1)1s(2)1s(3); Esimene ergastatud olek: 1s²2s¹.
16. Levine, 11.17/11.18 s-orbitaalid on paarisfunktsioonid. p-orbitaalid on paaritud. Aatomi lainefunktsioon on orbitaalide lainefunktsioonide korrutis. Sfääriliste harmoonikute korrutis on paaritu, kui selles on paaritu arv paarituid tegureid. Seega on paaritu põhioleku lainefunktsioon aatomitel, (Z kuni 10), millel on paaritu arv p-elektrone. Sellised on B, N, F.
17. Levine, 11.27/11.27 Näitamisel on abiks fundamentaalkonstantide ja ühikutevaheliste seoste tabel, näiteks prof. Pyykkö oma.
18. Levine, 13.20/13.24 D_e on dissotsiatsioonienergia. Lahendamine taandub küsimusele, kas katioonis on, võrreldes neutraalse molekuliga, elektron eemaldatud siduvalt või lõdvendavalt orbitaalilt. (a) Li₂; (b) C₂; (c) O₂⁺; (d) F₂⁺. Sõltumata meie teoreerilistest aruteludest annab eksperiment Li₂ jaoks tegelikult vastupidise tulemuse.
19. Levine, 14.2/14.24 Vastavalt viriaalteoreemile aatomis <T>=-E. Kui E₂>E₁, siis <T₂><<T₁>. Siit vastus, olek 1 jaoks.
20. MP2
21. Neljas toodud energiatest
22. Hartree-Fock, CNDO, LDA
23. Teine ja neljas pakututest. Ka viies, kui kasutatud baasikomplekt oli ilmselt kehv.
24. IP spekter, ZPE, NImag
25. CCSD(T)